北京大学能源/经济双学位
清华北大冲刺班特聘数学教师
孙为刚数学研究所执行所长
用数学思维来区分优等生和一般学生是当前教育改革的一大方向，数学在高考中的地位也愈发重要。
在这种新形势下，教师如何教、学生如何学？
曾在多所省市重点中学负责清华、北大冲刺班的袁斌老师，带领今年高考结束的学子们做了一次深入的复习，从题型复习到论文写作再到思维方法，剖析了高考数学110分与140分的差距。
我已经连续两年在教高三清华北大冲刺班了（编者注：袁斌老师从原本只有2名学生考上清华北大录取线的学校变成了现在的19名学生）。这次主要想回顾一下2024年高考状元的成绩背后折射出的高考总体走势，以及后来的同学们能从中得到什么启示。
01
以成绩为依据的高考总体方向
我们先简单概括一下高考的总体走向和趋势，主要有三点。
第一，高考成绩特别符合实际，与往年相比，今年的“高分”都是状元，状元学生根本没法出头。
也就是说，学生平时的水平和高考的水平是差不多的，平时的考试有很强的预测价值，当然这也间接说明今年的试卷设计得不错。
对于学校来说，决定高考成绩的不再是生源，而是教学方式。数据显示，我们说的学习方式执行得最好的两所学校都取得了历史最好成绩，而执行得最差的两所学校则取得了历史最差成绩。
第二，学术天才的比拼不再是语文，而是数学。
优等生成绩高的主要原因是什么？数学。这也是国家的一个改革方向，用数学来区分优等生和普通学生的思维水平。
第三，与往年相比，今年数学答题的“标准化”要求有所放松，更加注重考察数学思维。
去年，如果计算过程不规范，就会被扣分，但今年，甚至有学生觉得“太宽松”。
用一句话概括高考总体趋势：练题无效，思考才是关键。
那我们就集中复习一下尖子生的考试成绩吧，希望后来的学子不要重蹈前辈的覆辙。
02
高考复习
书写习惯不良，计算错误频繁
我带一些刚结束高考的学生复习了一下考试内容，发现今年考试成绩不好的，个个都是“计算错误”。
遗憾的是，很多同学都以“粗心大意”为由，轻易忽略了这个问题，但事实上，这个问题是值得进一步研究的。
为什么会出现计算错误？
首先，看一下下面这个同学发给我的截图，你能看出他写的是什么吗？6 看起来不像 6，平方根看起来不像平方根。他这样写并没有错，那么错的是谁呢？
小学低年级时欠下的债务，必须在高中高年级时偿还。
很多人可能没有意识到，这种书写不规范的问题即使在优等生中也占了很大比例，比如上面的公式里有一个“1”，但是下面的公式里却没有“1”。
这不是粗心，而是不良的写作习惯和草稿习惯，比如连笔写、乱涂乱画、“草草了事，鸟儿飞”的写法就特别容易出错。
根据历年高考阅卷统计，高考数学因计算错误而丢的分数平均为12.67分，其中因书写潦草导致的误读、误抄占了相当一部分。
那么好的写作模板是什么样的呢？
看看下面的截图，这是一位学生在拍自己高考数学试卷的草稿。可以看到，每道题之间都用线隔开，布局非常整齐，字迹也清晰。这使得计算时很难出错，而且确实，他在计算题上没有丢分。
前几天，我和孙伟刚教授（编者注：孙伟刚教授第三届班有55%的学生考入了北大、清华）的几位朋友交流，请教他们一些教计算的好方法。
我给大家总结一下目前公认有效的计算方法。
最重要的是要加强书写、排版、打草稿的习惯，千万不要小看这个问题。
这个其实应该从小学就开始培养。因为习惯一旦养成，就很难改变。如果一开始就不注重书写习惯，“粗心”和“不专心”必然会接踵而至。
改变的方法可以用一句话来概括：变得过分挑剔写作的清晰度。
这里我还要补充一点，我鼓励大家用草稿本，而不是草稿纸。因为它是帮助孩子复习的，不是写完就扔掉的。不是说这次算错了，就是粗心，下次可以再仔细一点。而是应该回头看草稿本，看看是哪一步出错了，分析错误在哪里。这才是有效的学习。
这里还要注意的是，孩子要养成不跳过步骤的习惯。
很多家长训练孩子做定时计算，其实我并不推荐这样做，一旦强调速度，孩子就会跳步、乱写，养成各种坏习惯。刚开始的时候，速度不是最重要的，一步一步算，速度更快。
就像我初中教学生练习数学思维的时候，如果他们少写一步，我不会批评他们。因为我知道跳步这个现实教训太惨烈了。很多人到了高三才改掉这个习惯，已经来不及了。最后还是因为这个原因考不上，后悔莫及。很多学生也觉得不跳步就不能体现出自己有多聪明，其实这是非常错误的认识。所以从一开始，就要改变他们的观念。
这里需要强调的是，很多人都忽略了，除了加强计算能力外，还要加强熟悉乘法表、20以内的加减法、20以内的平方数、10以内的立方数。
这是学生从一开始就应该学习的东西，因为所有计算最终都是基于这些基本计算。你应该确保自己记住这些基本计算，并牢牢记住它们。你无法想象 17 减 9，但你应该能够一口气算出来，并拥有这种肌肉记忆。
因为一旦遇到像今年这样题型多的情况，学生需要集中精力处理复杂问题，如果还要花时间做基础计算，犯错的概率就会大大增加。
03
高考复试课
泛读式看数学题，看不懂题目
接下来我们讲一下试题回顾。
阅读题目也是习惯问题，这个很重要。是的，很多学生还没有意识到在做数学题之前也需要做阅读理解。
今年数学高考的这道最后一道题，出现了两极分化，有人觉得是一道自由分题，有人则根本看不懂，认为是一道必杀题。为什么呢？第一点原因是，孩子们从来没有见过“新定义题”，但试卷里却有详细的解释，考验孩子们的阅读理解能力够不够强。
这里的问题是很多学生用泛读的方式来读数学题，读得太快，理解不够。
其实，数学题的信息量和古诗词一样爆炸性十足。阅读需要“读懂文中每一个字”，漏掉一个字就可能产生误解。另外，数学题逻辑连贯，如果一个概念没看懂，想继续读下去，理解的难度往往就像在平地上盖起高耸的大楼。只有拆解文字，解开不懂部分的字词，坚持不懈的努力，才能一步步前进，享受每一寸进步。
复习数学题的时候，关键是看谁能慢下来。
要避免带着不懂的概念跳读，最好的办法就是圈出并翻译。一边用笔指着题目的文字，一边圈出关键词。同时，读完一句话后，立即将这句话翻译成符号语言/图像语言。圈出避免跳过关键信息，而翻译则迫使你停下来思考概念的数学内涵，可以大大改善读题的问题。
这是高考成绩 706 分的学生的测试示例
03
高考复习
思维训练不足
说完了计算题和复习题，我们最后来看核心问题：思维训练不足。
我们说过，以后高考的“新定义题”会越来越多，孩子光靠练题是不可能取得好成绩的，如果不从下往上建立孩子的思维能力，后果会很严重。
有一位学生，高一、高二数学成绩稳定在145分左右，但由于缺乏针对性思维训练，高考中遇到不少新题型，只考了110多分，非常遗憾。
我再举一个相反的例子。去年，我有一个学生初中成绩不是很好，考进了海淀区一所非重点学校的普通班。他经常和我分享自己学习数学的经验，还给我发了一篇几千字的《哲学原理总结》。那段时间，他迷上了马克思主义思想，用马克思主义思想的视角去分析数学问题。最后，这个学生高考成绩第一，考上了北大。
其实孙伟刚老师在教数学的时候，也教孩子们一些哲学的思维方法。
当然我并不是说要学好数学就必须先上哲学课，其实哲学本质上是一种思维的训练，讲的还是思维方法的重要性，这个是具有普遍性的。
那么，怎样训练学生的思维呢？
比如我在讲授一个知识点的时候，不会直接扔给学生，而是在学生复习旧知识的过程中，引导学生发现问题，然后为了解决问题，自然而然的带出新的工具，新的知识点也就自然而然的产生了，这个过程对于培养学生的思维能力非常有好处。
例如孙伟刚老师就常常“每周讲解一道题”。
很多人听到这个就不知所措，想这是否太慢了。不，我们用尽所有方法来解决这个问题，总结出规律。然后我们思考这个规律能不能解决其他问题，哪些问题可以解决，哪些问题解决不了，哪些问题看似有用其实没用，哪些看似没用其实有用。经过这个过程，思维方法就掌握了。
其实小学、初中、高中的数学思想方法也就十一种、十二种，看似我们花了一个星期就教了一道题，但是当我对这些方法有非常深刻的理解之后，就会发现学习其他东西就会容易很多，因为方法都是通用的。
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我常说“多即是少，慢即是快”，就是这个意思。我们放慢了速度去研究这个题目最深入、最深刻、最本质的解题方法，去寻找解题的共性思维，相当于做了好多题。
最后我想提醒大家，自由是有方向的自由，给孩子自由和方向，条条大路通罗马。
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